集合、元素、隶属与包含：知识分类的数学基础

在知识表示与知识图谱中分类并不是随意进行的。无论是区分类与实例还是建立上位类与下位类背后都需要一种更基础的结构来支撑这就是集合观念。集合、元素、隶属关系、包含关系与相等关系构成了知识分类最基本的数学基础。只有先理解这几个概念后续关于概念层级、类属关系和本体建模的内容才会更清楚。一、什么是集合什么是元素集合Set是由若干确定对象构成的整体这些对象能够明确判断是否属于该整体。组成集合的每一个对象称为这个集合的元素Element。例如“所有学生”可以看作一个集合“所有哺乳动物”可以看作一个集合“所有大学”也可以看作一个集合。如果把“哺乳动物”看作一个集合那么“猫”“狗”“鲸”都可以看作这个集合中的元素。如果把“大学”看作一个集合那么“北京大学”“湖南师范大学”“哈佛大学”都可以看作这个集合中的元素。集合强调“整体”元素强调“成员”。因此集合与元素的关系不是并列关系而是“整体—成员”的关系。二、集合的表示方法集合通常有两种基本表示方法枚举法和谓词法。1、枚举法枚举法Roster Form是把集合中的元素一个个列出来。例如{1, 2, 3, 4, 5}{猫, 狗, 马}这种方法直观清楚适合元素数量较少、范围明确的情况。2、谓词法谓词法Predicate Form不是直接列出元素而是用一个条件来说明“什么样的对象属于这个集合”。它也可以理解为一种条件表示法。例如{x | x 是自然数}{x | x 是大学}{x | x 是哺乳动物}这种方法更适合描述范围较大、成员较多或无法一一列举的集合。在知识分类中谓词法尤其重要。因为很多类别并不是靠逐个列举对象来确定的而是靠某种共同条件或共同特征来界定。三、什么是隶属关系隶属关系Membership描述的是“某个对象是不是某个集合的成员”。通常记作a ∈ A意思是对象 a 属于集合 A。例如猫 ∈ 哺乳动物北京大学 ∈ 大学梵高 ∈ 画家这里的“哺乳动物”“大学”“画家”都可以理解为按类别形成的集合。如果某个对象不属于某个集合则记作a ∉ A例如鲸 ∉ 鸟类苹果公司 ∉ 大学隶属关系的核心是判断一个具体对象是否属于某个类别。从知识图谱角度看这种关系与“实例属于某类”非常接近。因此隶属关系可以看作理解“类—实例”关系的重要基础。四、什么是包含关系包含关系Inclusion描述的是“一个集合中的所有元素是否都属于另一个集合”。通常记作A ⊆ B意思是集合 A 中的每一个元素也都属于集合 B。也就是说A 被包含在 B 中或者说 A 是 B 的子集Subset。例如哺乳动物 ⊆ 动物大学教师 ⊆ 教师印象派画家 ⊆ 画家包含关系强调的是“集合与集合之间”的范围关系而不是“对象与集合之间”的成员关系。因此要特别区分猫 ∈ 哺乳动物 是隶属关系哺乳动物 ⊆ 动物 是包含关系。这是学习知识分类时最容易混淆的一点。五、集合的相等关系集合的相等关系Equality of Sets描述的是两个集合是否包含完全相同的元素。通常记作A B这表示集合 A 和集合 B 的元素完全相同。例如{1, 2, 3} {3, 2, 1}所有哺乳动物的集合 由全部哺乳动物构成的集合需要注意集合是否相等不取决于元素书写顺序也不取决于集合名称是否不同而只取决于它们所包含的元素是否完全一致。集合相等还可以借助包含关系来判断如果 A ⊆ B且 B ⊆ A那么 A B。这说明集合相等本质上可以看作一种“双向包含”关系。在知识分类中这一点提醒我们两个类别如果名称不同但对象范围完全一致那么它们在分类范围上并没有实质区别。六、隶属与包含有什么区别隶属和包含都表示“属于”但它们讨论的对象层次不同。虽然在自然语言中都可以说成“属于”或“归入”但在数学意义上它们表示的是不同的结构关系。隶属讨论“元素与集合”的关系包含讨论“集合与集合”的关系。可以用下图做一个简单区分在这个示意中“猫”是具体对象和“哺乳动物”之间是隶属关系“哺乳动物”与“动物”都是集合二者之间是包含关系。如果把这两种关系混在一起就会导致分类结构混乱。例如把“某只猫属于哺乳动物”和“哺乳动物属于动物这一大类”理解为同一种关系就会模糊实例与类别、下位类与上位类之间的区别。七、集合观念是知识分类的基础知识分类本质上是在回答两个问题哪些对象属于同一类各类之间是什么层级关系。这两个问题在形式上可以分别借助隶属关系和包含关系来表达。因此集合观念之所以重要是因为它为知识分类提供了最基本的结构框架。1、帮助确定对象归属通过隶属关系可以判断某个对象属于哪个类别。2、帮助建立类别层级通过包含关系可以建立上位类与下位类的结构。3、帮助保持分类的清晰性如果没有集合观念分类就容易变成随意罗列有了集合、元素、隶属和包含分类才能具有明确边界。4、为后续建模提供基础知识图谱中的类、实例、子类、成员关系都可以在一定程度上借助集合观念来理解。因此集合不是纯粹的数学附属知识而是知识组织与知识表示的重要基础。八、从集合到知识图谱中的类与实例在初学阶段中可以把“类”近似理解为一个集合把“实例”近似理解为这个集合中的元素但这种对应只是帮助理解的简化模型并不是完全等同。例如类科学家实例牛顿、爱因斯坦、居里夫人又如类大学实例北京大学、湖南师范大学、牛津大学而当两个类之间存在范围上的从属关系时就可以近似对应为集合之间的包含关系• 理工大学 ⊆ 大学• 哺乳动物 ⊆ 动物当然知识图谱中的类和实例并不完全等同于数学集合和元素但集合观念提供了一个非常清楚的入门框架。借助它我们可以更容易理解什么是类什么是实例什么是子类为什么分类体系能够形成层级结构。这也说明集合、元素、隶属与包含不只是数学概念更是知识分类和知识图谱建模的基础语言。 小结集合表示一个对象整体元素表示其中的成员隶属描述元素与集合的关系包含描述集合与集合的关系相等关系描述两个集合是否具有完全相同的元素。理解这组概念有助于把握类、实例和层级结构的基础逻辑。“点赞有美意赞赏是鼓励”