跨领域的抽象概念

前些天发现了一个巨牛的人工智能学习网站通俗易懂风趣幽默忍不住分享一下给大家点击跳转〇前言本文收录总结我个人知道的一些抽象概念这些概念在不同的领域使用同一个名字在不同的领域中乍看含义并不一样但是深思之后却又能找到深刻的联系。一对称性1几何中的对称性1轴对称2中心对称2物理中的对称性由于我的物理学习只停留在高考之前所以我只能以在网上复制一段我本人也不是完全懂里面的细节。诺特定理如果一个物理系统具有某种连续对称性那么这个系统存在一个相应的守恒定律。例如如果一个系统的拉格朗日函数在时间平移下不变那么这个系统将具有能量守恒的性质如果系统在空间平移下不变那么动量守恒如果系统在空间旋转下不变那么角动量守恒。3组合数学中的轮换对称性组合数学中有很多结构上的对称性。1复原魔方单面如果你学习了一个公式使得魔方无论怎么打乱再给你你都有办法复原红色面那么你就一定拥有一个能力魔方无论怎么打乱再给你你都有办法复原绿色面。所以我们说对于复原魔方单面这个问题红色和绿色具有对称性。更进一步我们可以说复原魔方单面这个问题任意两个颜色之间都具有对称性。2复原魔方对立两面魔方的固定对立色是白黄绿蓝红橙如果你学习了一个公式使得魔方无论怎么打乱再给你你都有办法复原白黄两面那么你就一定拥有一个能力魔方无论怎么打乱再给你你都有办法复原绿蓝两面。更进一步我们可以说复原魔方对立两面这个问题白黄绿蓝红橙三组之间任意两组都具有对称性。3复原魔方相邻两面如果你学习了一个公式使得魔方无论怎么打乱再给你你都有办法复原红白两面那么你就一定拥有一个能力魔方无论怎么打乱再给你你都有办法复原绿橙两面。我们可以说红白两面和绿橙两面具有对称性。但是我们不能说红白两面和白黄两面具有对称性。4轮换对称性上面三个关于魔方的例子都可以总结为轮换对称性这个在组合数学中很常见。对于不同的问题什么叫轮换其实是不一样的。对于我上面的三个例子轮换就是不操作魔方只把整个魔方的朝向调整一下这是比较简单的一种轮换魔方中有很多更复杂的轮换可以在我的魔方系列文章中深挖一下。5数独中的轮换对称性我在旋转数独这个puzzle中给出的如下的解法单个九宫格可以填充的数字就填充选择一个出现较多的数字把它的9个位置都确定下来选择一个数字较多的九宫格确定和它在同一行的2个九宫格把这3个九宫格都移到第一行剩下的6个九宫格里面再选择一个数字较多的九宫格确定和它在同一行的2个九宫格把这3个九宫格都移到第二行第一行的3个九宫格位置不动只根据行的信息和单个九宫格的信息可以填充的数字就填充第一行的3个九宫格位置固定不动让第二行的3个九宫格之间互换再让第三行的3个九宫格之间互换使得数独有解直接完成数独其实这里的逻辑是基于标准数独的轮换对称性把9个九宫格看成3行3列的矩阵完整的数独填充了81个数字且满足数独的规则交换任意2行得到的仍然是完整的数独交换任意2列得到的也仍然是完整的数独。6波利亚计数波利亚计数参考这里。这个神奇且强大的定理让我对“对称性”的看法从模糊的概念变成有深刻内涵的科学术语。7方旋矩理1最强大脑第12季的项目规则如下5种颜色各25个块构成5*5*5的立方体。操作方式和五阶魔方一样打乱之后复原使得每一层的25个块同色。显然第一个问题就是思考5个颜色从高到低怎么排。首先很显然中间层的颜色是确定的因为最中间的块是不动的例如上图就是蓝色块我们称之为中心色。其次类比五阶魔方的六个中心块这6个块是一个封闭的集合所以一定是4个中心色加上另外2个颜色的块各1个例如上图就是红色和绿色我们称之为两端色剩下的白色和黄色我们称之为夹心色。最后五种颜色具体怎么排布呢是四种组合都可以吗这里根据轮换对称性不妨设第二层就是固定白色第四层就是固定黄色只有2个两端色是位置排布是不确定的。这里是如何轮换对称的很简单只需要5次旋转180的操作就可以把整个立方体上下颠倒。那么在此基础上是否可以不妨设第一层就是固定红色其实这个问题的答案取决于一个已经复原的立方体能不能通过有限次操作只把第一层和第五层单独交换由于没法实操只能冥想我暂时不确定这个独立的小问题的答案。那么在不知道这个答案的情况下我们对方旋矩理确定颜色排布这个问题的答案总结下来就是首先确定中心色和2个两端色和2个夹心色指定2个夹心色的任意排布即可唯一不确定的就是2个两端色怎么排布整个立方体仅有的2种完整颜色排布方案至少有一种是可达状态。4桌游中的轮换对称性桌游中也存在各种形式的轮换对称性有一些桌游中的对称性规律和策略无关而我下面列举的都是轮换对称性会影响策略的例子。1璀璨宝石璀璨宝石规则参考这里。宝石中一共有5种颜色有的卡牌是5张一组具有轮换对称性比如再比如而有的卡牌不具有轮换对称性比如用置换群来表达的话上面的5分牌和4分牌都是1个5阶群而下面的2分牌是1个3阶群2个1阶群。由于黑白红处于1个3阶群中蓝绿各处于1个1阶群中所以很多宝石策略都会把5个颜色分成2个阵营即蓝绿阵营和黑白红阵营。2香料物语略。香料物语参考这里。5高阶轮换对称性1方旋矩理2上文《方旋矩理1》中我们得到了两端色是红色和绿色夹心色是黄色和白色。只根据“可以把整个立方体上下颠倒”这个轮换对称性我们就可以得到“不妨设第二层就是固定白色第四层就是固定黄色只有2个两端色的排布不确定”。其实我们也可以得到“不妨设第一层就是固定红色第五层就是固定绿色只有2个夹心色的排布不确定”。那么这2种选择哪一种来作为方旋矩理确定颜色排布的阶段性成果总结呢答案是都可以不妨设就用第一种。这就是更高阶的一种轮换对称性。二不妨设所有的不妨设都是对称性。1方旋矩理3上文的《方旋矩理1》中根据轮换对称性得到“不妨设第二层就是固定白色第四层就是固定黄色只有2个两端色的排布不确定”。上文的《方旋矩理2》中则是更高阶的轮换对称性。这2处我都用到了不妨设。2齐次性证明首先如果xy0则不等式成立。其次如果xy0则不妨设x0 y0最后如果x0 y0则不妨设xy1这里我们又用了2次不妨设。3变量的强对称性这里的x y z是两两对称的所以不妨设xyz4变量的弱对称性这里不妨设abc就是错的但是不妨设ab且ac就是对的。三等价这个概念在极其多的领域中应用表面上看起来在不同领域中含义都不一样五花八门但实际上应该都可以抽象成离散数学中的等价。1等价的题目老师经常说这2个题目不是一样的吗这2个题目有什么区别吗这就是2个不同的题目个体具有等价性。二元关系参考这里。一个大概的二元关系模型是用多维空间中的点表示一个题目的解法如果2个点距离小于某个阈值则连一条边。如果这个阈值设置的比较小就会形成自反、对称、传递、不连通的二元关系。如果这个阈值设置的比较大就会形成自反、对称、传递、连通的二元关系平凡等价关系。这两种二元关系都可以叫等价关系。当然平凡等价关系不太适合用于描述题目之间的等价关系。2等价的什么持续更新中欢迎读者留言补充四相似怎么样算相似呢相似可以描述哪些对象呢数值外观逻辑等等王博老师的培训课给了我启发。1相似的题目怎么样的2个题目算是相似的题目1只有数字不同的题目很多人第一反应应该就是题目完全相同只有数字不一样的2个题目肯定是相似题目实际上真的如此吗?我们看一下2个例子。题目一xy1x*y-2求(x^2024y^2024)%7解法求解方程组有2个解x-1,y2x2,y-1所以(x^2024y^2024)%7(2^2024 - 1)%73题目二x-y2x*y7x0求(x^2024y^2024)%7解法求解方程组有2个解满足x0的只有x2*sqrt(2)1, y2*sqrt(2)-1这一个解。所以首先(x^2024y^2024)显然是一个整数。其次题目三x-y1x*y1x0求(x^2024y^2024)%7解法求解方程组有2个解满足x0的只有x(sqrt(5)1)/2, y(sqrt(5)-1)/2这一个解。所以首先(x^2024y^2024)显然是一个整数。其次这个比上一题更加的复杂但是也确实有办法手算出来。所以读者认为这3个题目相似吗严谨的说应该是题干相似解法不相似如果把题目理解成题干解法那么显然这3个题目并没有想象中的那么相似。2相似的游戏举一个抽象程度比较高的相似的例子回合制贪吃蛇 里面的霸屏问题和2048最大分数 里面的达成最大分数问题就很相似。这种相似是抽象程度比较高的比较复杂的一种相似。这种相似主要是核心难点和启发式策略的相似即固定矩形空间内的排兵布阵动态调整最终占满。而2048和数字消除问题里面的Threes的相似就是抽象程度比较低的一种相似。这种相似主要是规则的相似。五结构化1结构化数据结构化数据是指以固定格式或模式存储的信息通常可以被快速检索和处理。这类数据最典型的例子就是数据库表格中的信息如整数、实数、字符串等。非结构化数据没有预定义的模式或结构形式多样且难以直接处理。常见的非结构化数据包括电子邮件、社交媒体帖子、图像、音频文件等。2结构化压缩如果我们不需要完整的数据只需要提取数据中的部分信息压缩后的信息是结构化数据那么这个压缩过程可以成为结构化压缩。结构化压缩其实也是一种特征提取特征提取是机器学习中的核心概念。3结构化游戏结构化游戏指的是状态是结构化数据的游戏。例如这个游戏的规则是连点成线练成三角形的一方得一分。线条不能相交。虽然这个游戏的双方操作是结构化的但是初始状态各个点的坐标emmm有待讨论。。。六离散化离散化的概念参考数据变换结构化压缩和离散化的本质其实很像都是降低数据的熵从而使得一个已有的算法可以处理当前数据。以“星光大道”为例规则是滑动滑块最终拼成一条完整的路径。首先结构化压缩9个碎片图每个碎片可以压缩成2个点点的坐标是2个实数。其次离散化坐标可以离散化成1-18范围内的整数。七平凡平凡往往指显而易见的不需要花费太多精力的当然也是不包含较多信息的。1平凡的数学结构空集不包含任何元素的集合平凡群只包含一个元素恒等元的群平凡环只有一个元素的环2平凡解微分方程yy的一个平凡解y0x轴3魔方的平凡接近状态以三阶魔方为例这里是2种接近复原状态的非复原状态状态1状态2我们说状态1是平凡接近状态2是非平凡接近。因为状态1复原只需要1步而状态2需要16步七算法、遗忘算法、解空间、对象空间1算法一个魔方公式也可以看做一个算法这里可能涉及停机问题和公理系统的可判定性之间的关系2遗忘算法3解空间参考七元另外一篇文章中的元剪切过来1元算法元算法即基于算法的算法。比如算法的轴对称算法。八阶九自我指涉十离散和连续十一反演、对偶、共轭参考数据变换、反演、对偶、共轭十二全文总结本文的每一章并不是完全无关的概念。比如很多情况下对称性也是相似的一种。比如我们可能把相似的东西称为这不是一样吗也可能把等价的东西称为这不是一样的吗。比如元其实就是二阶也是一种自我指涉。