机器人关节空间的轨迹规划

一、概述机械手最常用的轨迹规划方式有两种第一种方法要求用户对于选定的转变节点插值点上的位姿、速度和加速度给出一组显式约束例如连续性和光滑程度等轨迹规划器从一类函数例如n次多项式中选取参数化轨迹对节点进行插值并满足约束条件。第二种方法要求用户给出运动路径的解析式如为直角坐标空间中的直线路径规划器在关节空间或直角空间中确定一条轨迹来逼近预定的路径。在第一种方法中约束的设定和轨迹规划均在关节空间进行因此可能会发生与障碍物相碰撞。第二种方法的路径约束是在直角坐标中给定的而关节驱动器是在关节空间中受控的。因此为了得到与给定路径十分接近的轨迹首先必须采用某种函数逼近的方法将直角坐标路径约束转化为关节坐标路径约束然后确定满足关节路径约束的参数化路径。轨迹规划即可以在关节空间进行也可以在直角空间中进行但是所规划的轨迹函数都必须连续和平滑使得操作臂的运动平稳。在关节空间进行规划时是将关节变量表示成时间的函数并规划他的一阶和二阶时间导数在直角空间中进行规划是将手部位姿、速度和加速度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加速度由手部的信息导出。通常通过运动学反解得出关节位移。用逆雅可比求出关节速度用逆雅可比及其导数求出关节加速度。二、关节轨迹的插值计算为了求得在关节空间形成所求轨迹首先用运动学反解将路径点转换成关节矢量角度值然后对每个拟合一个光滑函数使之从起始点开始依次通过所有路径点最后到达目标点。对于每一段路径各个关节运动时间均相同这样保证所有关节同时到达路径点和终止点从而得到工具坐标系{T}应有的位置和姿态。尽管每个关节在同一段路径中的运动时间相同但各个关节函数之间却是相互独立的。关节空间法是以关节角度的函数描述机器人轨迹的关节空间法不必在直角坐标系中描述两个路径点之间的路径形状计算简单、容易。此外由于关节空间与直角坐标空间之间并不是连续的对应关系因而不会发生机构的奇异性问题。在关节空间中进行轨迹规划需要给定机器人在起始点和终止点手臂的位形。对关节进行插值时应满足一系列的约束条件例如抓取物体时手部运动方向初始点提升物体离开的方向提升点放下物体下放点和停止点等节点上的位姿、速度和加速度的要求与此相应的各个关节位移、速度、加速的在整时间间隔内连续性要求其极值必须在各个关节变量的允许范围之内。一 三次多项式插值在机械手运动的过程中由于相应与起始点的关节角度θ0是已知的而终止点的关节角θf可以通过运动学反解得到。因此运动轨迹的描述可以用起始点关节角度与终止点关节角度的一个平滑插值函数θ(t)来表示在t00时刻的值是其实关节角度θ0在终端时刻tf的值是终止关节角度θf。显然有许多平滑函数可以作为关节插值函数。为了实现单个关节的平稳运动轨迹函数θ(t)至少需要满足4个约束条件其中两个约束条件是起始点和终止点对应的关节角度为了满足关节运动速度的连续性要求另外还有两个约束即在起始点和终止点的关节速度要求。在当前情况下规定故上述四个边界约束条件唯一确定了一个三次多项式则关节轨迹上的运动速度和加速度可以通过求导得到对于关节位置、速度、加速度带入起始点和终止点的关节角度对应的约束条件得到有关系数 a0 a1 a2 a3 的四个线性方程求解这四个方程可得四个系数a0 a1 a2 a3但是这一组解只适用于起始速度和终止速度为0的运动情况对于其他情况后面另行讨论。二 过路径点的三次多项式插值一般情况下要求规划过路径点的轨迹。如果机械手在路径点停留则可直接使用前面三次多项式插值的方法如果只是路过路径点并不停留则需要对公式进行推广。实际上可以把所有路径点也看做是“起始点”或者“终止点”求解逆运动学得到相应关节的矢量值。然后确定要求的三次多项式插值函数把路径点平滑地连接起来但是在这些起始点和终止点的速度并不为0。路径点上的关节速度可以根据需要设定这样一来确定三次多项式的方法与前面所述的完全相同只是速度约束条件式子变为同理确定三次多项式的四个方程为可求解出a0 a1 a2 a3 :实际上由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置和速度的运动轨迹是前面三次多项式插值的推广。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节速度由下面三种方法可以确定1) 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和角速度来确定每个路径点的关节速度2) 在直角坐标空间或关节空间中采用适当的启发方式由控制系统自动地选择路径点的速度3) 为了保证每个路径点上地加速度连续由控制系统按此要求自动地选择路径点的速度。三 高阶多项式插值如果对于运动轨迹的要求更为严格。约束条件增多那么三次多项式就不能满足需要必须用更高阶的多项式对运动轨迹的路径段进行插值。例如对某段路径的起始点和终止点都规定了关节的位置、速度和加速度则要用一个五次多项式进行插值即项式的系数a0 a1 a2 a3 a4 a5必须满足6个约束条件这个线性方程式组的解为补充有关轨迹规划与路径规划的区别轨迹规划是在路径规划的基础上赋予路径时间戳。它决定了机械臂在每一个时间点应该处于什么位置、速度是多少、加速度是多少。路径规划的本质是一个几何优化与拓扑搜索问题。它不关心机器人运动的快慢只关心能不能在不撞到障碍物的前提下找到一条连接起点和终点的几何连线。·